2Gradi e radianti
Il radiante collega l'angolo alla lunghezza dell'arco: un angolo di 1 rad sottende un arco lungo quanto il raggio.
Trascina il punto sulla circonferenza. Antiorario = positivo, orario = negativo: il segno indica solo il verso.
3Circonferenza goniometrica: coseno e seno
Su un cerchio di raggio 1 il punto P ha coordinate (cos θ, sin θ): il coseno è la coordinata orizzontale, il seno quella verticale. Agli angoli sugli assi i valori si leggono subito; per gli altri si usa la calcolatrice, ma i segni si prevedono dal quadrante.
| quadrante | intervallo | cos θ | sin θ |
|---|---|---|---|
| I | 0° – 90° | + | + |
| II | 90° – 180° | − | + |
| III | 180° – 270° | − | − |
| IV | 270° – 360° | + | − |
5Tangente, funzione inversa e taglio del dominio
La funzione inversa fa la strada al contrario: tan va dall'angolo al numero, arctan dal numero all'angolo. Ma la tangente si ripete ogni 180°: allo stesso numero m corrispondono infiniti angoli. Si tiene un solo tratto, −90° < θ < 90°, e lo si specchia rispetto a y = x.
Sopra: la retta orizzontale all'altezza m incontra la tangente in infiniti punti. Sotto: il tratto centrale, specchiato rispetto a y = x, diventa l'arcotangente (asse orizzontale in radianti).
5.3Stessa tangente, quadrante diverso: atan2 o a mano
Nel III quadrante x e y sono entrambi negativi: il rapporto y/x è uguale a quello del I quadrante. arctan riceve solo il rapporto e restituisce sempre un angolo del I o IV quadrante; atan2(y, x) usa i due segni.
| segno x | segno y | quadr. | angolo θ |
|---|---|---|---|
| + | + | I | α |
| − | + | II | 180° − α |
| − | − | III | −180° + α |
| + | − | IV | −α |
6Dal cerchio alla sinusoide: la spirale nel tempo
Il punto ruota sulla circonferenza mentre il tempo scorre lungo il terzo asse: la punta descrive una spirale. Guardata di fronte è un cerchio; di lato è la sinusoide del seno, dall'alto quella del coseno.
Trascina il disegno per ruotare la vista. Il seno è lo stesso moto del coseno, visto con 90° di ritardo.
7–8Periodo, frequenza, pulsazione e fase relativa
Una sinusoide si legge da tre numeri: valore massimo, pulsazione e fase. La fase ha significato confrontando due sinusoidi della stessa frequenza.
9Valore massimo, picco-picco e valore efficace
Il valore efficace è il valore continuo che produce la stessa potenza media su un resistore: è la radice della media di x².
Con v² attivo: l'area gialla sopra la media riempie esattamente i vuoti sotto. La media di v² vale Vm²/2.
10–12Numeri complessi: forma cartesiana e polare
j² = −1. Un numero complesso z = a + jb è un punto (o un vettore) del piano: parte reale in orizzontale, parte immaginaria in verticale. Cartesiana e polare sono due descrizioni dello stesso punto.
Trascina z. Moltiplicare per j ruota di 90° senza cambiare il modulo: j⁰ = 1, j¹ = j, j² = −1, j³ = −j, j⁴ = 1.
13Operazioni: scegliere la forma giusta
Somma e sottrazione: forma cartesiana, si combinano le componenti. Prodotto e divisione: forma polare, si combinano moduli e angoli (scala e rotazione).
Trascina z₁ e z₂. Nella somma si vede il parallelogramma; nel prodotto gli angoli si sommano e i moduli si moltiplicano.
16Esempio integrato: dal segnale al numero complesso
Scrivi un segnale e segui i passaggi: convenzione al coseno, frequenza e periodo, valore efficace, forma polare e cartesiana.